Hur ska vi förstå oändlighet?
Kan något vara utan slut: i tid, i rum, i antal? Medan oändligheten framstår som ofattbar i sin storlek blir det ändå mer svårfattligt att tänka oss vissa fenomen som begränsade.
Oändlighetens konstans
Kant är en av de stora filosoferna som rådbråkat sin hjärna med frågan om något kan vara oändligt. Vad han kallade ”tesen” utgjorde antagandet att tiden och rummet är begränsade (ändliga) medan ”antitesen” utgjorde antagandet att tiden och rummet är obegränsade (oändliga).
Tesen och antitesen var de rationalistiska respektive de empiriska ståndpunkterna. Vilket av ståndpunkterna ställde sig Kant bakom? Ingen eller båda är svaret då Kant ansåg att deras sannolikheter tog ut varandra. Det är svårt att tänka sig det ena mer än det andra alternativet när man som Kant betonade att vår vetskap om vad vi ser omkring oss bara sträcker sig från vår subjektiva begränsade horisont och kan således aldrig bli mer än en tolkning av världen.
Kants tar sig således an frågan kunskapsteoretisk samt metafysiskt snarare än positivistiskt. Han förvandlar spörsmålet till en icke-fråga i det han menar att världen bortom vår föreställningsförmåga inte består av tidsliga och rumsliga relationer.
Oändlighetsbegreppet inom logiken
När det kommer till antal brukar vi näst intill förutsätta att oändligheten är fallet. Vi tänker oss att en talserie rimligtvis kan fortsätta utan slut. Det blir motstridigt att tänka sig ett sista möjligt heltal. Det förefaller mer logiskt att det alltid kan adderas +1 till alla upptänkliga tal. Postulatet är sålunda: om vi kan lägga till ett till varje tal blir talen ofrånkomligt oändligt många.
Inom den filosofiska logiken har oändlighetsbegreppet (T används för en oändlig mängd) fattats som en slutsats som följer ur kedja av premisser:
- Rörelse förutsätter kontinuitet.
- Kontinuitet förutsätter oändlighet.
Oändligheten tycks därför vara en logisk nödvändighet och att paradoxer uppkommer därur som oundvikligt. Uppkomsten av paradoxer från slutsatsen att oändlighet existerar är inte skäl nog för att undanröja slutsatsen, med andra ord.
En av de mest paradoxala följderna var att det dessutom tycktes kunna finnas olika slags oändligheter, med olika slags storheter. Här kan införas begrepp som aktuella och potentiella oändligheter. Detta är ett konstruktivistiskt synsätt som säger att det i varje ögonblick finns ett visst högsta tal, det högsta som någonsin används av en människa, och de tal som är högre än detta existerar enbart potentiellt. Eller att det inte finns ett högsta tal av redan nämnda skäl. I praktiken kan det synas vara samma sak, men inom den matematiska logiken kan åtskillnaden ha betydelse.
Därför kan man också tala om olika stora oändligheter. Detta verkar absurt, för vad kan vara större än något som är oändligt? Inom den gren i matematiken som kallas mängdlära används likväl olika typer av oändligheter. Ett klassiskt exempel är att skilja mellan de naturliga talen (1, 2, 3, …) som är oändligt många och de reella talen mellan 0 och 1 (som 0,1, 0,123456…, π/4, √2/2 osv.) som också är oändligt många, men ännu fler. Detta beror på att de naturliga talen kan räknas upp ett i taget (så kallad uppräknelig oändlighet) medan de reella talen inte kan räknas på detta sätt eftersom det alltid finns oändligt många mellan två godtyckliga tal (denna mängd är icke-uppräknelig).
Fullhetsprincipen
I ett oändligt perspektiv kommer allt förr eller senare att hända (detta vittgående påstående är åtminstone nästan sant, varför det inte är fullständigt sant framkommer nedan). Oändligheten kan sägas vara är den ultimata förutsättningen för att generera potential.
Enligt fullhetsprincipen kommer alla möjligheter i slutändan kommer realiseras. Ett exempel som ibland har använts för att illustrerar det näst intill ofattbara som ett oändlighetsperspektiv tillåter är att om ett antal schimpanser tilldelades varsin skrivmaskin skulle någon av dessa till slut författa Illiaden. Det är blott en fråga om kombinationer och dess möjliga utfall. Alla tänkbara utfall från möjliga kombinationer kommer förr eller senare besannas och de kombinationer som leder fram till att Illiaden skrivs är en av dessa.
I scenariot där oändligt antal världar existerar, som i kosmologiska modeller som inkluderar multiuniversa, kan man tänka att det borde följa ett oändligt antal möjliga utfall. Leder detta till att inget kan sorteras bort som omöjligt? I så fall hade teorier (vars natur är att de som bygger på att en del är sant och annat falskt) blivit meningslösa. Betingelser som inbegriper oändliga kombinationer av utfall tycks kunna innebära att faktaförhållanden fluktuerar beroende av plats (dvs. universum). Om allt kan vara sant implicerar det att allt också kan vara falskt. Sålunda kan inget längre sägas alltid vara sant då detsamma kan vara falskt på annat håll.
Det är viktigt att poängtera att fullhetsprincipen säger att möjligheter kommer realiseras och inte omöjligheter. Det verkar betydligt mindre sannolikt att en schimpans skulle skriva Illiaden (förvisso omedvetet) än att en människa skulle lyfta en sten som överstiger en viss storlek över sitt huvud oavsett hur många försök som gavs. I detta fall är inte oändligheten till gagn då utfallet saknar potential.
Oändlighetens främsta egenskap är att den möjliggör saker. Kanske är det tack vare oändligheten vi finns till. Oändligheten förklarar inte hur liv kan finnas till och är inte källan till att liv finns till, men om chansen är otroligt liten krävs otroliga tidsförlopp. Och ja, om det finns en jord där vissa parametrar innebär utveckling av intelligent liv vore oändligheten i det närmaste en garant för att det förr eller senare kommer existera ytterligare en planet med intelligent liv någonstans. Fast det kräver ett ofattbart stort universum (eller flera; i ett multiversum kommer sannolikheterna multipliceras) likaså en ofattbar tid (att den potentiella oänndligheten inte bara är potential utan i "tillräcklig grad" (ja, uttrycket är motsägande) aktualiseras) – kanske långt längre än de knappt 14 miljarder år som universum antas ha existerat. Vad som besannas i en situation där oändligheten är en konstans är således beroende av storleken i tid och rum.